Halaman
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK120C.Materi Pembelajaran4.1 Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)Pada umumnya, ada dua ukuran yang digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu derajat dan radian. Tanda “ o ” dan “ rad ” berturut-turut menyatakan simbol derajat dan radian. Singkatnya, satu putaran penuh = 360o, atau 1o didefenisikan sebagai besarnya sudut yang dibentuk oleh1360 kali putaran. Gambar 4.1 Beberapa besar putaran/rotasi1360 putaran14 putaran12 putaran1 putaranTentunya dari Gambar 4. 1, kamu dapat mendeskripsikan untuk beberapasatuan putaran yang lain. Misalnya, untuk 13 putaran, 16 putaran, 23 putaran.Sebelum kita memahami hubungan derajat dengan radian, mari pelajari teori mengenai radian berikut.rrrαAOBGambar 4.2 Ukuran radianSatu radian diartikan sebagai besar ukur-an sudut pusat α yang panjang busurnya sama dengan jari-jari, perhatikan Gambar 4.2. Jika ∠AOB = α dan AB = OA = OB, makaα = ABr = 1 radian.Jika panjang busur tidak sama dengan r, maka cara menentukan besar sudut tersebut dalam satuan radian dapat dihitung menggunakan perbandingan:
Matematika121Sifat 4.1∠AOB = ABr = radLebih lanjut, dapat dikatakan bahwa hubungan satuan derajat dengan satuan radian, adalah 1 putaran sama dengan 2π rad. Oleh karena itu, berlakuSifat 4.2 360o = 2πradatau 1o = πo180radatau 1 rad = πo180≅ 57,3oDari Sifat 4.2, dapat disimpulkan sebagai berikut.➢ Konversi x derajat ke radian dengan mengalikan x×πo180.Misalnya, ππ×ooo45 = 45=1804radrad.➢ Konversi xradian ke derajat dengan mengalikan x×πo180.Misalnya, ππ×πoo33180 == 27022rad.Contoh 4.1Perhatikan hubungan secara aljabar antara derajat dengan radian berikut ini.1. ×oo1360 = 904 putaran = ×oo1360 = 904atau π×πo190 = 90=1802radrad. 2. ×oo1360 = 1203 putaran = ×oo1360 = 1203 atau π×πo2120 = 120=1803radrad.3. ×oo1360 = 1802 putaran = ×oo1360 = 1802atau π×πo180 = 180= 180radrad.4. 4 putaran = 4 × 360o = 1.440o atau π×πo1.440 = 1.440= 8 180radrad5. 5 putaran = 5 × 360o = 1.800o atau π×πo1.800 = 1.800= 10 .180radrad
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK1226. 225o = 225o×o1360putaran = 58 putaran atau 225o = 225o×πo180rad = 54π rad7. 1.200o = 3 × 360o + 120o = ()()oooo113 × 360×+ 120 ×putaran360360= 13 +putaran3 = 3 13 +putaran3 putaran 8. Pada saat pukul 11.00, berarti jarum panjang pada jam menunjuk ke angka 12 dan jarum pendek pada jam menunjuk ke angka 11. Artinya besar sudut yang terbentuk oleh setiap dua angka yang berdekatan adalah 30o. 30o = 30o× πo180rad = 16π rad9. Jika suatu alat pemancar berputar 60 putaran dalam setiap menit, maka setiap satu menit pemancar berputar sebanyak 3.600 putaran.360o pertama kali diperkenalkan oleh bangsa Babilonia. Hal ini merupakan hitungan satu tahun pada kalender. Selanjutnya, dalam pembahasan topik selanjutnya terdapat beberapa sudut (sudut istimewa) yang sering digunakan. Secara lengkap disajikan dalam tabel berikut ini, tetapi kamu masih harus melengkapinya.Tabel 4.1 Sudut istimewa yang sering digunakanDerajatRadianDerajatRadian0o0 rad90oπ2rad30oπ6rad120oπ23rad45oπ4rad135oπ34rad60oπ3rad150oπ56rad
Matematika123DerajatRadianDerajatRadian180oπrad270oπ32rad210oπ76rad300oπ53rad225oπ54rad315oπ74rad240oπ43rad330oπ116radDalam kajian geometris, sudut didefinisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal (initial side) ke sisi akhir (terminal side). Selain itu, arah putaran memiliki makna dalam sudut. Suatu sudut bertanda “positif” jika arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda “negatif” jika arah putarannya searah dengan arah putaran jarum jam. Arah putaran sudut juga dapat diperhatikan pada posisi sisi akhir terhadap sisi awal. Untuk memudahkannya, mari kita cermati deskripsi berikut ini.Gambar 4.3 Sudut berdasarkan arah putaranSisi akhirSisi awala. Sudut bertanda positifb. Sudut bertanda negatifSisi awalSisi akhirDalam koordinat kartesius, jika sisi awal berimpit dengan sumbu xdan sisi terminal terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartesius, disebut sudut standar (baku). Jika sisi akhir berada pada salah satu sumbu pada koordinat tersebut, sudut yang seperti ini disebut pembatas kuadran, yaitu 0o, 90o, 180o, 180o, 270o, dan 360o.Sebagai catatan bahwa untuk menyatakan suatu sudut, lazimnya menggunakan huruf-huruf Yunani, seperti, α (alpha), b (betha), γ (gamma) dan
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK124θ (tetha) juga menggunakan huruf-huruf kapital, seperti A, B, C, dan D. Selain itu, jika sudut yang dihasilkan sebesar α, maka sudut b disebut sudut koterminal, seperti yang dideskripsikan pada gambar di bawah ini. YXαba. Sudut baku dan sudut koterminal90o270o180o0oKuadran I0o – 90oKuadran IV270o – 360oKuadran II90o – 18ooKuadran III18o – 27ob. Besar sudut pada setiap kuadranGambar 4.4 Sudut secara geometri dan pembatasan kuadran Untuk memantapkan pemahaman kamu akan sudut baku dan pembatas kuadran, cermati contoh dan pembahasan di bawah ini. Contoh 4.2Gambarkan sudut-sudut baku di bawah ini, dan tentukan posisi setiap sudut pada koordinat kartesius.a. 60o c. 120ob. –45o d. 600oAlternatif Penyelesaiana. XYA60oOSisi awal terletak pada sumbu Xdan sisi terminal OA terletak di kuadran I.b. YXA45oOSisi awal terletak pada sumbu Xdan sisi terminal OA terletak di kuadran IV.
Matematika125c. YPOX120oSisi awal terletak pada sumbu X dan sisi terminal OP terletak di kuadran II.d. YXROSisi awal terletak pada sumbu Xdan sisi terminal OR terletak di kuadran III.Gambar 4.5 Sudut pada setiap kuadran